へー、江戸時代の寺子屋で農民が解いていたという出どころがなんなのかよくわからないけど、
本当なら今と全然レベルが変わらないところが面白いね。
大円、小円の直径の合計が6尺(180cm)
大矢、小矢の合計が1尺2寸(36cm)
になるとき交弦の長さを求めよ
図のように正方形の内に半円があり
大円と小円を3個内接させる
小円の直径を3寸(9cm ※1寸=3cmとする)
とするとき大円の直径を求めよ
とりあえず上の問題は解いてみた。
青い線の合計も3尺。点線の合計は3尺から問題文の通り1.2尺を引いて1.8尺。
さて、赤い線と点線と緑の線で囲まれている部分、それぞれ直角三角形になっている。
緑の線をちょっと平行にずらしてわかりやすく1つの直角三角形に見せたのが右の図。
これ、よく見ると3,4,5の直角三角形になっている。0.6*3尺,0.6*4尺,0.6*5尺とほらね。
3^2+4^2=5^2の三平方の定理でも確認できるけど、3,4,5の直角三角形は有名な三角形。
ということで、三角形の緑の部分は2.4尺だけど、交弦の長さはこれの2倍だから答えは4.8尺。
下は・・苦戦中。これどうやって解けばいいんだろう・・切り口が見えない・・。
・・う～ん・・2問目、ホントわからないや。全くわからない・・。
結局補助線を使ったエレガントな解法は諦め、ゴリゴリ方程式を解くやり方に切り替えたら
大円の直径は8寸、正方形の1辺の長さは10寸という結論になった。詳細はあとで書くけど、
半円の中心から小円の辺に接しているところまでの長さを2通りの方法で表現できるから、
それで方程式を作って解いてあげる感じ。大円の半径をxと置くと、
(x-1.5)^2 - 1.5^2 = ((x+3)/2 + 1.5)^2 - (2x - 1.5 - (x+3)/2)^2
と書けるんだけど、式だけ書かれても何言ってんだバーカって感じだと思うので、あとで
詳しく書きます。でももっとエレガントな解法あるんじゃないかなぁ・・。
さて、2問目の解答の続き。
同じ長さになるので、青の三角形と緑の三角形それぞれで赤線の長さを表現してイコールで
つなげば方程式が作れるでしょ？というのが大枠の考え方。半円の半径をとりあえずxと置く。
あとピタゴラスの定理は(1辺)^2+(1辺)^2=(斜辺)^2だけど、今回方程式を作ろうとしているのは
斜辺じゃない部分に対してなので、(斜辺)^2-(1辺)^2=(1辺)^2の形で公式を使うことになる。
さて、わかりやすい緑の三角形から攻めよう。点線の長さは問題文より1.5寸。実線の長さは、
半円の半径をxと置くと(x-1.5)寸になる。半円の半径から小円の半径の長さを引いたものだから。
次に青の三角形。大円の直径が(x+3)寸だというのは図をよく見ればわかるはず。正方形の
上半分の長さ(=半円の半径x)に小円の直径3寸を足したものになっているでしょ。ということで、
大円の半径はその半分の(x+3)/2寸になる。
青の実線は大円の半径+小円の半径だから((x+3)/2+1.5)寸になる。
青の点線の長さは、よく見ると正方形の1辺の長さ2xから小円の半径1.5寸と大円の半径(x+3)/2寸
を引いたものになっている。だから(2x-1.5-(x+3)/2)寸。ということで赤線部分を表現すると、
緑の三角形を用いた赤線の表現 = 青の三角形を用いた赤線の表現で、
(x-1.5)^2 - 1.5^2 = ((x+3)/2 + 1.5)^2 - (2x - 1.5 - (x+3)/2)^2
になる。あとは(ax+b)^2=a^2*x^2+2abx+b^2の公式とか(ax-b)^2=a^2*x^2-2abx+b^2の公式使って
ゴリゴリ解いてという感じ。
x^2-3x+1.5^2-1.5^2=(x^2+12x+36)/4 - (3x-6)^2/4=(x^2+12x+36)/4 - (9x^2-36x+36)/4
とりあえず左辺と右辺を整理すると、
x^2-3x=(-8x^2+48x)/4=-2x^2+12x
ということで式をまとめると、
0=-3x^2+15x
つまり
0=3x(5-x)
になる。xの解は0と5ってことになるけど、このxは半円の半径のことなので0はない。よって5寸。
大円の直径は(x+3)寸なので、8寸というのが答え。
とりあえず解いてみて・・これ、試験問題として出されたら試験時間内に解くのは無理だな。私は。
解いたら小判がもらえるとかで、かわら版に貼ってあるなら頑張って解くかもだけど。
